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发布时间: 2019-11-14       浏览次数:

  20 07年 8 月 湖 北 教 育 学 院 学 报 J un lo b iIsi t fE u ain o ra fHu en tueo d c t t o Au . 0 g 2 07 V0 . NO 8 I24 . 第2 4卷第 8期 基 于 德拜 模 型讨 论 风致 比热 刘 丹 ( 北 第二 师 范学 院 物理 取 电子 工程 系,武 汉 4 00 ) 湖 32 5 摘要 : 晶格 比热是反 映晶体热学性质的一个 主要 物理 量。对 晶格 比热的具体 求解是 一个相 当复杂的 问题 , 正在一般 讨 论 中, 常采 用爱因斯 坦模 型及德拜模子 。本文基 于德 拜模 型 系统地研 究 了一 维简单 晶格 , 维简单 晶格 以及三 维晶 二 格的晶格比热 , 并会商 了凹凸温极 限, 对进 一步理解德拜模子的物理思惟 , 及其会商具体 问题 的方式有主要 意义。 环节 词 : 格 比热 ; 拜 模 型 ; 性 波 ; 动 模 式 密度 晶 德 弹 振 中图分类号 :4 08 文献标识码 : A 文章 编号:0 7—18 ( 07 0 0 1 10 67 2 0 ) 8— 00一O 3 1 热 容 理 论 因而正在温度 T时 , 频次为 的振动的平均 能量 为 E【 ∞) i 由力已, 热定为C【此 热学知 容容义:= 定 v ] 处 是 固体的平均 内能 。一 般情 况下 , 固体 的 内能当然 包罗 晶格 振 动能量和 电子活动 的能量 , 正在不 同温度下 , 晶格振 动能量 及 电 子活动能量 的变 化都对 比热 有贡 献。当温度 不太 低时 , 电子 对 比热的贡献远 比晶格 的 贡献小 , 一般 可 以略去。此 处我 们 仅会商晶格振动对热容 的贡献 。1 [ ] 因为 晶体 中有个原子 , 每个原 子有 3个 度 , 因而晶体 有个正则频次 , 平均能量应为 : . z∑ )兰 T3 : = N ( 3 ) 若是频次分布用一个积分 函数暗示 , 可将加号变 为积分。 设 P ∞) ∞暗示角频次正在 ∞和 ∞+d ( d w之间的格波数 , 并且 按照典范理论, 每一个 度的平均能量是 kT此中÷ B, kT是平均动能, kT是平均势能;B B ÷ B kT是玻耳兹曼。 若 固体有 N个原子 , 总平均能量 E=3 K T, 果 N是 1摩 则 N 如 尔原子 中的原子数 , N=6 03x1 ∞, 即 .2 0 则摩 尔原子 比热就是 C = v _3 k _2. J K m 1 N B 4 ( / . o) 9 () 1 r p :Ⅳ 。 ) 3 式中∞ 为最大 的角频次 , 平均能量 能够写成 。 () 4 = 南 ) ( 5 ) 而 比热 C 可写 成 = 即比热是一个取 温度 无关 的 , 这就 是熟 知 的杜 隆 一 珀替定 律。 正在 高温时 , 条定律 和尝试合适 得很好 , 正在低 这 但 温时 , 尝试指 出绝缘 体的 比热按 1 趋 近于零 , ' 3 对导 体来说 , 比 热按 T趋近 于零 。这表 明正在低 温下 , 能量 均分 的经 典理论 不 ( 篙 ㈤ 由此可见 , 用量子理论求 比热 时 , 问题 的关 键正在于若何求 角频 率的分布 函数 P ∞) 即 振动模 式密 度 。对 于具 体的 晶 ( , 体 ,( 的计较 非 常复 杂。正在 一般讨 论 时 , 常采用 简化 的 P ∞) 就 爱 因斯坦模子 和德拜模 型。前者设 晶体 中所 有的原子都 以相 同的频次振动 , 尔后者则 以持续介质 的弹性波来代表格波。3 - 再合用 , 而必需利用 晶格 振动的量子理论 。 按照量子理论 , 晶格振动的能量 是量子化 的 , 即频次 为 ∞ 爱因斯坦模 型正在高 温情 况下所 得结 果取 尝试吻 合很 好 , 的振动能量为: = n ÷)∞此中 ∞ E ( + , ÷h 代表零振动能, 对 比热没 有贡献 , 略去 不计 , 而将 E 写成 :: ∞ E 操纵玻 耳兹 曼统计理论 , 正在温度时的平 均能 量为 一 但 是正在低 温情 况下 , 研究 成果 取实 验所得 纪律 相差甚 远。然 而基 于德拜模 型研究 晶格 比热 , 温及 低温情 况下所 得结 正在高 果均 取尝试吻合相 当好 。本文基 于德拜 模子系统地研 究 了一 维 简单 晶格 , 二维简单 晶格 以及 三维晶格 的晶格 比热 , 并会商 了凹凸 温极 限。 r / i lw - l l 一 。 = … 一 h m 乙 0 () 2 p  ̄ ]Y t r B 2 用德 拜模 型讨 论 晶 格 比 热 式 中, ?e~ l 收稿 日期 :o 7—0 20 4—1 O d. 一 d, = 一 n 1 1 , 做 者 简介 : 丹 ( 9 1一) 湖 北 红 安 人 , 教 , 士 , 究 刘 18 , 帮 硕 研 方 向 为凝 聚 态物 理 。 ? 1 ? O 对于 长声 学渡 , 晶格 司以视为 持续介质 , 声学 波具有 弹 长 2 2 二维简单 晶格。德拜模 型考 虑得格波是 弹性 波 , . 波速 为 v 的格波 的色散关系是 ∞=v 。正在二 维波矢空 间内, q 格波 的等 频 线是一个个 圆周。正在 q ( 一 q+d ) q 区间内波速为 v的格波数 目 性波 的性质 。德拜 关于 固体 比热 的模 型的 次要 特点 是 : 布 把 喇菲 晶格看做是各 向同性 的持续 介质 , 即把格 波看 做是 弹性 波, 而且还假定 纵的和横的弹性波的波速相等 , 都是 V 。 . 1 一维 简单 晶格 。设此一 维 简单 晶格 的长度 为 L 晶 格 常 2 . , 赤 伽 的振动模式密度 = = ( 1 3 ) 数为 a 。按 照德拜模子 , 格波 的色散关 系为 ∞=v :由色散 曲 q 线的对称性 能够看 出 , 区间对应 两个 同样大 小的 波矢 区间 乩 d 。2 / 区间对应 L a q wa / 个振动模式 , 单元 渡矢 区间对应 有 L / 2 竹个振 动模 式。d ∞范 围则包含 2a L q d : — 式中 S 是二 维晶格的总面积 。由此可 得波速为 v的格波 … ) q L = - () 7 7 c _ 7 c 考虑到二维 介质有 两支 格波 , 一支 纵 波 , 一支 横波 , 以 所 格 波总的振动模式密 度 p ) : 个振动模 式。单元 频 率 区间包 含 的 模式 数 目定 义 为 模 式 密 度, 按照这一 定义 可彳 模式密度为 { = p)d 生0 (:O 7 )7 。 粤:粤:V ) c c ( 8 ) : (5 1) 再 用 ‘)) =, N 原 总 , 晶 利pd Ⅳ告 中 为 子 数a 格 (0 0= 式 ) 为 常 , {v则 数得∞= 。 = 式2吉 ]中纵速, 横速。 中=+,是波度 波度格 (专其 V 是 波的振动能 [ .[ r 筹等 。 E J : =o h d = oo , )) . S () 1 6 = r㈥高 ( nl [ 积分上 限 ∞ 由下式 ( o 1) , _ 2 . Ⅳ () 1 8 做 量 换x轴, 变 代 = K 得 = rp ) r 求 出 。 由此 得 到 此中0 。: 。 2 1 1 高温极限。正在 高温时 , 是 小量 , .. x 上式 d 被积函数 e e 2 X 得 两 : : 引 Ns k ( 1 1) ( 钿 式 N原个。变代 x 中为子数做量换= 等, 晶格热容 量 因而 , 晶格的高温热容量 罴 两d () ex f X ox 3 此中 0 = D 2 2 1 高温极 限。正在高 温时 , +x .. e 一1 , 德拜 模子的高温热容取典范理论是分歧 的 。 2 12 低 温极 限。正在甚 低温 时 , 0/ ) ∞ ,中 的被积 函 .. ( DT 一 C 数按二项式展成级 数 两x x(e:x e :1X=Z X e-) : . X :- 则 积分 [] 竿 ( = 竿 2 ( 1 2) 尚 = 等 喜 2 因而获得低温时 晶格得热容 量 : — 德拜模 型的高温热容 取经 典理论是分歧 的。 2 2 2 低温极 限。正在甚低 温时 , 0/ )- 0, .. ( DT - 0 - + 两a 砉 一 喜 3 e ̄ Xc x . 3 (2 1) 、 L  ̄ nk T — 3 hv 脯 C =Ar, 中 v 1 式 2 由此 可见 , 甚低 温下 , 维 晶格 的热 容 量 取 温度 成 正 正在 一 由此可见 , 正在甚低温 下 , 二维 晶格的热容 量取 温度 T的平 方 成 正 比。 2 3 三维 晶格 。德拜模 型考虑 的格波 是 弹性 波 , 速为 v的 . 波 此中 0 。: 格 波的色散关系 是 ∞= q v 。正在三维波矢空 间内 , 格波 的等频 面 为一球 面。正在 q ( +d ) 一 q q 区间内波速 为的格 波数 目 2 3 1 高温极 限。正在 高温时 ,》0 , .. T 。 eX x 南由南 嘉 式 中 V是三维晶格 的体积。 由此可得波速 为 v的格波 的 振 动模 式密度 = i ; 。 孑 = 。 二 丽 f ] 兰 + 2 2 则高温热 容 C =3 k NB 德拜模 型的高温热容取典范理论是分歧的。 2 32 低温极限 。正在甚低 温时 ,0 / ) .. ( 。 T 一 , 嘉 嘉 = 等 ( 2 3 ) 考虑到三维介质 有三 支格波 , 支纵 波 , 支横渡 , 以 ~ 两 所 格波总 的振动模式密度 f nn4 畅 喜ex7 n= - X x c d4 则 有 Cv - ) = 簧 ( 2 4 ) 半 ㈡ 由此可见 , 正在甚低 温下 , 三维 晶格 的热容量取 温度 T的三 式专[+]中 是波度横速 次 方 成 正 比。 中 =D百, v 纵速, 波 2其 v v 是 度。格 波的振动能 德拜模 型正在甚 低温下取尝试 是相 符的 , 温度越低 , 合适程 E : J r 。 () 2 5 度越 好。 以上基于德拜模 型系统地研究 了~维简单晶格 , 二维简单 晶格 以及三维晶格 的晶格 比热 , 并会商 了凹凸 温极 限。成果表 晶格 的热容量 ( 积分上 限 ∞ 由下 式 明, 操纵德拜模子正在高 、 温环境 下对热容 的研究结 果均取实 低 验相吻合。此工做对 进一步理解 德拜模子 的物理思 想及会商 问题的方式有很大好处 , 对研究反 映晶体热学性质的主要物理 量一晶格比热有主要意义 。基 于以上 , 能够更 精确地控制晶体 更好地为科学研究及出产实践办事 。 p 专 =求。此到 ( 的物质研究 , = 幽3 出由得 2 ) | v 7 ) 参考文献 : ( 8 2) [] 1 方俊鑫 ,陆栋.固体物理 学. 海科 学手艺 出书社 , 90 上 18 、 [] 2 陆栋 ,蒋平 , 徐至 中. 固体物理 学.上海科 学技 术 出书社 , 2 3. o0 式 N原个 。宝马会线上官网,变代 x 中 为子数做量换= 等, 风致 热容量 [] 3 王矜奉 ,范希会 ,张承琚.固体物 理教 程.山 东大 学出书 社 ,1 9 . 9 5 眷 I v s i a i n o y t lLa tc e t Ca a iy Ba e n De y o e n e tg to fCr s a ti e H a p c t s d o b e M d l LJ Da U n ( eat nf hs sa dE et ncE gn e n , bi nvr t o d ct n Wu a3 2 5 C ia D p r t yi n lcr i n ier g Hu e U i s y f u a o , hn4 0 0 , hn ) me o P c o i e i E i Ab tac : y tll t c e tc p ct s a mp ra h r lp o ry s r t Cr saat e h a a a i i n i o tntt ema r pet i y , . Is v r fiu to o t i r sa at e t i e y di c ly t b an c tl lti y c h a a a i i cl .I e e a .t e mo eso n ti d De y r d p e .T e r s l n E n ti d li a e t p ct dr t c y e y n g n r1 h d l f Ei sen a b e a e a o t d h e u t o i sen mo e s — n s g e d wi x e me t au i ih tmp r t r ,b t on lw t mp r t r .Ho e e ,b s d o e De y d l r e t e p r n tmn h g e e a u e u tio e e au e h i d n w v r a e n t b e mo e , h te r s lsa e i o d a r e n t ee p rme ,n to ln hih b lo i o tmp r t e h e u t rn g o g e me twih t x e h i nt o n y i g utas n l we e aur .Th sp pe ,su — i a r t d iste c sa lt c e t a a i fo e—dme so a ,t o—dme so a n re—dme so a rsa lt c n eh r tl at e h a p ct o n y i c y i n in l w i n in la d t e h i n in l y tl at eo c i De y d l n h ih a d lw l t h r au b e t n e tn h b e mo e n s r e me — b e mo e ,a d t e h g n i .T ewo k i v l a lo u d r a d t e De y d la d ma t y t t o mi s s e h h o. d Ke r s rs l at eh aa a i ;De y d l ls cwa e e s yoirt n ls t y wo d :c t tc e tc p ct y al i y b emo e ;ea t v ;d n i fvb ai a t e i t o a . 17 .