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S)计谋:因为隐真存贮量必要通过清点才 能得
发布时间: 2019-11-26       浏览次数:

  赵晓知-初等优化模子简介_数学_天然科学_专业材料。初等优化模子简介 优化问题能够说是人们正在工程手艺、经济办理 和科学研究等范畴中最常碰到的一类问题.如: 1.设想师要正在满脚强度要求等前提下,若何选 择材料的尺寸,使布局总分量最轻。 2.公司司理需要根

  初等优化模子简介 优化问题能够说是人们正在工程手艺、经济办理 和科学研究等范畴中最常碰到的一类问题.如: 1.设想师要正在满脚强度要求等前提下,若何选 择材料的尺寸,使布局总分量最轻。 2.公司司理需要按照出产成本和市场需求,确 定产物的价钱,使公司利润最高。 3.安排人员需要按照产地的产量以及销地的需 求量来放置从各产地到各销地的运输量,使总的运 输费用最低。 操纵数学建模方式来处置一个优化问题 第一步:需要确定优化的方针; 第二步:确定需要做出的决策; 第三步:写出决策需要受哪些前提的。 正在建模的过程中,需要对现实问题做若干合理的 简化假设。 然后用响应的数学方式去求解。 最初对成果做一些定性、定量的阐发和需要的检 验 优化模子一 出产放置问题 某工场有三种原料 B1,B2,B3,其储量 别离170kg,100kg和 原料 150kg;现用来出产A1, 产物 A2两种产物;每单元 A1 产物的原料耗损量及各 产物的单元利润由左表 A2 给出,问工场正在现有资 资本限额 源的前提下,应若何安 排出产,可使工场获利 最多? B1 5 2 B2 B3 1 5 单元利润 2 3 10元 18元 170 100 150 模子成立:做为工场的决策者,需要做出决策:决 定两种产物的产量;为此,我们引入变量x1和x2,用 它们别离暗示两种产物的产量。---- 引入决策变量 决策者的目标是:使工场获得的利润最多;当工场 出产x1件A1产物和x2件A2产物后,将其发卖出去, 工场所获的利润为: Z=10x1+18x2 ---- 确定方针函数 两个变量的取值需受工场现有资本的;出产x1 件A1产物和x2件A2产物,所用B1资本的数量为 5x1+2x2,它必需小于或等于170kg 即有:5x1+2x2≤170 同理有: 2x1+3x2≤100 x1+5x2≤150 ---- 束缚前提 上述问题的数学模子可归纳为: max Z=10x1+18x2 s﹒t 5x1+2x2≤170 2x1+3x2≤100 x1+5x2≤150 x1, x2≥0 ---- 非负束缚 模子求解:上述问题属于线性规划,它能够用单 纯形法方式求解,也能够用LINDO软件求解。 用LINDO求解如下:间接输入 max 10x1+18x2 subject to 5x1+2x2=170 2x1+3x2=100 x1+5x2=150 end 将文件存储并定名后,选择菜单“solve”,并对 提醒“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回 答 “是”或“否”。即可得输出成果。 x1=310/11 , x2=160/11 , Z=5980/11 定性阐发:若是市场前提发生变化,单元产物的 利润会响应发生变化; 若是出产工艺进行了改良,单元产物对各类 资本的耗损量也会发生响应变化; 各类资本投入后的经济结果若何,也会影响 资本的库存量; 当问题中的系数发生变化时,问题的最优解 会发生如何的变化?当问题中的系数正在什么范畴 内变化时,又可保最优解不变?---- 活络度阐发 优化模子二 货机拆运问题 某架货机有三个货舱:前 舱、中舱、后舱。三个货舱 所能拆载的最大分量和体积 都有。为了连结飞机的 均衡,三个货舱中现实拆载 货色的分量取其最大容许沉 量成比例。现有四类货色供 该货机本次飞翔拆运,其有 关消息如左表。应若何放置 拆运,使该货机本次飞翔获 利最大? 前舱 中舱 后舱 分量 体积 10 16 8吨 6800 8700 5300m? 分量吨 空间m? /吨 利润元/吨 货色1 货色2 货色3 货色4 18 15 23 12 480 650 580 390 3100 3800 3500 2850 模子假设: 1)每种货色能够朋分成肆意小; 2)每种货色能够正在一个或多个货舱中肆意分布; 3)多种货色能够混拆,并不留空地。 符号申明: 1)xij暗示第i种货色拆入第j个货舱的分量; 2)Z暗示货机本次飞翔所获的利润。 模子阐发: 方针函数是货机本次飞翔所获的总利润Z达到最大 此中 Z=3100(x11+x12+x13)+3800(x21+x22+x23) +3500(x31+x32+x33)+2850(x41+x42+x43) 束缚前提:1)供拆载的四种货色的总分量束缚 x11+x12+x13≤18 ; x21+x22+x23≤15 ; x31+x32+x33≤23 ; x41+x42+x43≤12 。 2)三个货舱的分量 x11+x21+x31+x41 ≤10 x12+x22+x32+x42 ≤16 x13+x23+x33+x43 ≤8 3)三个货舱的空间 480x11+650x21+580x31+390x41≤6800 480x12+650x22+580x32+390x42≤8700 480x13+650x23+580x33+390x43≤5300 4)三个货舱拆载分量的均衡束缚 x11 ? x 21 ? x31 ? x 41 x12 ? x 22 ? x32 ? x 42 ? 10 16 x13 ? x 23 ? x33 ? x 43 ? 8 模子求解:用LINDO软件求得成果如下: x11=x12=x13=0 ,x22=0 ,x31=0 x41=0 ,x43=0 . x21=10 , x23=5 ,x32=12.947369 x33=3 ,x42=3.052632 . 最优值为: Z=121515.8 优化模子三 自来水输送问题 某市有甲、易发游戏斗地主乙、丙、丁四个居平易近区,自来水由A、 B、C三个水库供应。四个区每天必需获得的基 本糊口用水量别离为30、70、10、10千吨,但因为 水源严重,三个水库每天最多只能别离供应50、60 和50千吨自来水。因为地舆的不同,自来水公 司从各水库向各区送水所付出的引水办理费用分歧 (见下表,此中C水库取丁区之间没有输水管道). 其它办理费用都是450元/千吨。按照公司,各 区用户按照同一尺度900元/千吨收费。此外,四个 区都向公司申请了额外用水量,别离每天50、70、 20和40千吨。该公司应若何分派供水量,才能获利 最多? 为了添加供水量,自来水公司正正在考虑进行水库 ,使三个水库每天的最大供水量都提高一倍,问 那时供水方案若何改变?公司利润可添加几多? 引水办理费 元/千吨 甲 160 140 190 乙 130 130 200 丙 220 190 230 丁 170 150 ---- A B C 模子假设: 1)水正在流经途中的丧失能够忽略不计; 2)各居平易近区对水的需求量完全从命自来水公司的 调配放置; 3)所有供水设备都能一般利用 . 符号申明: xij暗示水库i向j居平易近区的日供水量; Z暗示自来水公司每天的引水办理费用; W暗示自来水公司每日所获的利润 . 模子阐发: (1)分派供水量就是放置从三个水库向四个居平易近 区送水的方案,方针是获利最多。 (2)从标题问题给出的数据可知,三个水库的日供水 总量为160千吨;四个居平易近区的根基糊口用水量取 额外用水量之总和为300千吨,所以自来水公司的 水能全数卖出并能获利。 (3)自来水公司的总收入为: 900×(50+60+50)=144000元----取送水方案无关 公司每天的其它办理费用为: 450×(50+60+50)=72000元 ----取送水方案无关 (4)想使利润最大,只需使引水办理费用最小。 模子成立: 方针函数:引水办理费用最小 min Z=160x11+130x12+220x13+170x14 +140x21+130x22+190x23+150x24 +190x31+200x32+230x33 因为C水库取丁区之间没有输水管道,故x34=0 束缚前提:因为供水量能全数卖出,故有 x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=60 x31+x32+x33+x34=50 需求量:30≤x11+x21+x31≤80 70≤x12+x22+x32≤140 10≤x13+x23+x33≤30 10≤x14+x24≤50 非负束缚:xij≥0 模子求解:用LINDO软件求解得 A水库向乙区供水50千吨,B水库向乙区供水50 千吨,向丁区供水10千吨,C水库向甲区供水40千 吨,向丁区供水10千吨; 引水办理费用为24400元 进一步会商: 若是三个水库每天的最大供水量都提高一倍,则 公司总供水能力为每天320千吨,大于每天的总需 求量300千吨,此时水库供水量不克不及全数卖出,因 而不克不及将获利最多问题成引水办理费用为起码 的问题。 为此,我们起首计较A、B、C三个水库向各居 平易近区供应每千吨水的净利润,即从收入900元中减 去其它办理费用450元,再减去引水办理费用,得 净利润元/千吨 A B C 甲 290 310 260 乙 320 320 250 丙 230 260 220 丁 280 300 --- 数学模子: max W=290x11+320x12+230x13+280x14 +310x21+320x22+260x23+300x24 +260x31+250x32+220x33 subject to x11+x12+x13+x14≤100 x21+x22+x23+x24≤120 x31+x32+x33≤100 每个区的供水需求量都能获得满脚,因而有 x11+x21+x31=80 ; x12+x22+x32=140 x13+x23+x33=30 ; x14+x24=50 求解成果为: X12=100 ; x21=30 ; x22=40 ; x24=50 X31=50 ; x33=30 . 其余变量取值为零。 即 A水库向乙区供水100千吨; B水库向甲区供水30千吨, 向乙区供水40千吨 向丁区供水50千吨; C水库向甲区供水50千吨,向乙区供水30千吨 自来水公司获得的最大利润为88700元。 优化模子四 选课问题 某学校,运筹学专业的学生结业时至多要学 习过两门数学课、三门运筹学课和两门计较机。这 些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程 由下表给出,那么结业时学生起码能够进修这些课 程中的哪些课程。 若是某个学生既但愿选修的课程数量少,又但愿 所获的学分多,他能够选修哪些课程。 课程编号 课程名称 微积分 线性代数 最优化方式 数据布局 使用统计 计较机模仿 计较机编程 预测理论 数学尝试 学分 所属类别 数学 数学 数学;运筹学 数学;计较机 数学;运筹学 计较机;运筹学 计较机 运筹学 计较机;运筹学 先修课程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 4 4 3 4 3 2 2 3 微积分;线性代数 计较机编程 微积分;线性代数 计较机编程 使用统计 微积分;线性代数 模子成立 每门课程能够选修,也能够不选修,只要两种可 能;它能够通过变量取0或取1来暗示。 引入决策变量:xj=1,暗示选修第j门课程 xj=0,暗示不选修第j门课程 确定方针函数:选修的课程起码。 min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 至多要进修过两门数学课、三门运筹学课和两门 计较机,可暗示为: x1+x2+x3+x4+x5≥2 ; x4+x6+x7+x9 ≥2 ; x3+x5+x6+x8+x9≥3 . 先修课程要求: 只要当x1=1,x2=1时,才有可能呈现x3=1 . 用束缚来暗示则为: x3≤x1 且x3≤x2 (由于变量只取0或1) 同理有: x4≤x7 ; x5≤x1 且x5≤x2 ; x6≤x7 ; x8≤x5 ; x9≤x1 且x9≤x2 . 会商:要使所修学分最多,需成立另一个方针 max W=5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6 +2x7+2x8+3x9 此时有两个方针 处置方式一:通过加权,将多个方针化为单方针 . 求W的最大值相当于求-W的最小值; 若是某同窗认为:学分数取课程数大致能够四六 开,则我们能够构制新的方针函数 min U=0.6Z -0.4W 若是某同窗认为选修课程起码是根基前提,正在力 求所修学分最多。 此时我们能够先求出第一方针的最优值(本题中 的最优值为Z*=6),由此添加新束缚 x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=6 再求第二方针(学分数)的最优值。 用LINDO软件求解如下: 间接输入 max 5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6+2x7+2x8+3x9 subject to x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=6 x1+x2+x3+x4+x5=2 x3+x5+x6+x8+x9=3 x4+x6+x7+x9=2 2x3-x1-x2=0 (x3=x1,x3=x2等价于2x3=x1+x2) x4-x7=0 2x5-x1-x2=0 x6-x7=0 x8-x5=0 2x9-x1-x2=0 end int9 “int9”是“9个变量均为0—1整数”的申明语句。 最优解为:x1=x2=x3=x5=x6=x7=1 x4=x8=x9=0 最优值为:22 优化模子五 存贮模子 ? 1 存贮现象和存贮问题 ? 2 存贮模子中的根基概念 (1)需求(2)弥补 (3)费用(4)存贮策略 ? 3 存贮形态图 ? 4 几个确定型存贮模子 1 存贮现象和存贮问题 ? 正在现实糊口中我们经 常碰着存贮现象,譬如 工场储存原材料; 商铺储存商品; 家中储存粮食等等。 ? 储存中存正在如下问题 商铺里商品储存太多,会影响资 金周转,会构成商品积压;若是贮 存商品太少,则会影响发卖利润。 工场里,若是原材料储存太少, 将会导致出产中缀;若是储存太多 将形成资本的积压华侈。 若何确定恰当的储存量,就是贮 存论研究的根基问题。 2 存贮模子中的根基概念 需求:存贮的目标是为了满脚需求。而需求使存贮 不竭的削减。 按照需求的时间特征,可将需求分为持续型和间断型 持续型:需求持续地发生,此时存贮持续地削减; 间断型:间断型需求中,需求发生的时间极短,可认为瞬 时发生。 按照需求的数量特征,可将需求分为确定型和随机型 确定型:需求发生的时间和需求的数量都是确定的; 随机型:需求发生的时间和需求的数量都是不确定的,受 随机要素的影响。 弥补:为了填补削减的存贮,需要通过弥补来添加 存贮。从起头订货到货色入库存贮需要履历一段时 间,这段时间可分为两部门 从起头订货到货色达到为止的时间(或是工场内部发出 出产指令到起头出产为止的时间)称为拖后时间----从订货后 何时起头弥补的角度看;也称为提前时间----为了按时弥补何 时订货。 从起头弥补到弥补完毕为止的时间(或是从起头出产到 出产竣事为止的时间) 这两部门时间,可能很长,也可能很短;可能是确定的 也可能是随机的。 费用:存贮论中,经常考虑的费用项目有 ① 存贮费:存贮费是指货色正在存贮期间占用资金对付的利钱、 仓库办理费、安全费、物资损坏变质等收入的费用。存贮 费一般取存贮物资的数量以及存贮的时间长短成比例 ② 订货费:向外采购物资的费用。它包罗订购费用和货色的 成本费。 此中的订购费用是指:手续费、采购员的差盘缠。此费用 只取订货次数相关,而取订货数量无关。 货色的成本费:货款、运输费等。此费用取订货数量相关 ③ 出产费:自行出产所需存贮物资的费用。它包罗拆卸费用 和货色成本费。 此中的拆卸费用是指:出产前的预备费,如调整出产线所 花的费用,该费用取组织出产的次数相关,而取每次出产 的数量无关。 货色的成本费:如原材料和零配件的成本,间接的加工费 该费用取出产产物的数量相关。 ④ 缺货费:因货色存贮不脚而形成的丧失费。 如:得到发卖机遇的丧失;停工待料的丧失; 迟延交货得到诺言所形成的罚款丧失。 正在不答应缺货的环境下,能够认为缺货费用为无限大。 存贮策略:决定几多时间弥补一次以及每次弥补多 少的策略称为存贮策略。 常见的存贮策略有: ㈠ t—轮回策略:不管现实存贮形态若何,每隔固按时间t 弥补固定存贮量Q。 ㈡ (t , S)策略:每隔固按时间t弥补一次,补凑数量为 S-I,此中I为现实存贮量. ㈢ (s, S)策略:记现实存贮量为I,若是I>s,则不 对存贮进行弥补;若是I≤s,则对存贮进行弥补,补凑数 量为S-I,弥补后达到S。s称为订货点。 ㈣ (t,s,S)策略:因为现实存贮量需要通过清点才 能得知。若是每隔固按时间t清点一次,正在得知存贮量I后, 按照I能否跨越订货点s,再决定能否订货,此策略称(t, s,S)策略 。 存贮形态图:正在曲角坐标系中,以时间T为横轴,以现实 储存量为纵轴,描画存贮量随时间变化的曲线,称为存贮 形态图。 相邻两次订货之间的一段时间称为订货周期 确定型存贮模子Ⅰ 不答应缺货、弥补时间极短 模子假设: 1. 需求是持续平均的,即需求速度为R 。 2. 弥补能够瞬时完成。 3. 单元存贮费(单元时间内单元存贮物的存贮费用) 为C1;因为不答应缺货,故单元缺货费(单元时 间内每贫乏一单元存贮物的丧失)C2为无限大; 订购费用(每订购一次的固定费用)为C3,货色 单价为K。 模子成立:采用t—轮回策略----即每隔时间t弥补一 次,弥补时存贮已用尽,每次的补凑数量为Q,则 存贮形态图为 Q T 0 t 2t 3t 每次弥补的数量Q必需满脚t时间内的需求,因而 有 Q=Rt 于是订货费为:C3+KQ=C3+KRt t时间内的平均订货费为 (C3/t)+KR 因为需求是持续平均的,故时辰u的存贮量为 Rt-Ru,于是t时间内的平均存贮量为 1 t 1 ? 0( Rt ? Ru )du ? 2 Rt t 因而t时间内的平均存贮费为 C1Rt/2 因为不答应缺货,故无需考虑缺货费用。 时间内的平均总费用为 C3 C1 C(t ) ? ? KR ? Rt t 2 求t的取值,使 C (t ) 达到最小。 模子求解 令 d C (t ) C3 C1 ?? 2 ? R ??? 0 dt 2 t 解得: t ? * 2C 3 RC1 , Q ? Rt ? R * * 2C 3 RC1 C(t ) ? 2C1C3R ? KR * 采用t—轮回策略:每隔 t 时间弥补一次,每次 * 弥补的数量为 Q* 例:若某产物中有一种外购件,年需求量为10000件,单 件为100元。因为该件可正在市场采购,故订货提前期为零, 并设不答应缺货。已知每组织一次采购需2000元,每件每 年的存贮费为该件单价的20%,试求最佳订货批量及每年 最小的存贮加采购的总费用。 从题意可知,本题属于“不答应缺货、弥补时间极短”的 存贮模子。此中单元存贮费C1=100×20%=20元/件●年,每 次的订购费用为C3=2000元/次 。 设每次采购的件数为Q,则全年的采购次数为10000/Q 于是全年的采购总费用为: C 3 ?10000 Q 全年的平均存贮量为Q/2,因而全年的存贮费用为:C1Q/2 于是费用函数为 C (Q) ? 1 10000 C1Q ? C3 2 Q d C (Q) C1 10000C 3 令 ? ? ??? 0 2 dQ 2 Q 得 Q ? * 20000C 3 ? 1414 ( 件 ) C1 C(Q* ) ? 28280元 课后题1: 合理下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货,然后将钢管按照应客的要 求切割后售出,从钢管厂进货时,每根钢管的长度都是19米 ① 现正在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢 管,应若何下料最节流? ② 零售商若是采用的分歧切割体例太多,将会导致出产 过程的复杂化,从而添加出产和办理成本,所以该零售商规 定采用的分歧切割体例不克不及跨越3种。此外,该客户除需要 ①中的三种钢管外,还需要10根5米的钢管,应若何下料最 省? 课后题2 糖果产物的出产放置问题 某糖果厂用三种原料A、B、C加工成三种 糖果产物甲、乙和丙。已知各类糖果产物中 A、B、C的含量,原料成本,各类原料的每 月用量 ,三种糖果产物的单元加工费及 单元售价如下表所示,问该厂每月应出产这 三种糖果产物各几多千克,才能使该厂获利 最大? 糖果产物 甲 乙 原料 A B C ≥60% ≤20% ≥15% 丙 原料成本 每月 (元/千克) 用量(千克) 2.00 1.50 1.00 2000 2500 1200 ≤60% ≤50% 加工费 (元/千克) 售价 (元/千克) 0.50 3.40 0.40 2.85 0.30 2.25